[선형대수학] Section 1.1(Linear Equations in Linear Algebra): Systems of Linear Equations

https://www.inflearn.com/course/%EC%84%A0%ED%98%95%EB%8C%80%EC%88%98%ED%95%99%EA%B0%9C%EB%A1%A0

선형대수학개론 강의 - 인프런

 

 

---

1. Linear Equation

 

Linear equations in the variables $x_{1}, x_{2}, ....., x_{n}$

 

• $a_{1}x_{1} + a_{2}x_{2} + \cdots + a_{n}x_{n} = b$
• $a_{1}, a_{2}, ..., a_{n}$: coefficients (계수)
• $b$: constant (상수)
• $a_{1}, a_{2}, ..., a_{n}, b$: real or complex numbers

 

 

 

• 다음의 경우 Linear Equation이라 부를 수 없다

 

 

 

 

---

2. A system of linear equations

 

 

A system of linear equations 

 

• 한 개 이상의 linear equation들의 집합
• Consistent: 해가 존재 (해가 1개 or 무수히 많을 때)
• Inconsistent: 해가 존재 X 

 

 

Solution Set

 

• Linear system의 가능한 모든 해집합
• 같은 Solution Set를 가지고 있다면 두 개의 linear system을 'equivalent'라고 한다

 

 

 

 

System of Linear Equations Solutions (Solution Set): 3가지 유형

 

• Inconsistent
  • No solution (해가 없는 경우)
• Consistent
  • Exactly one solution (오직 하나의 해만 존재하는 경우)
  • infinitely many solutions (무수히 많은 해가 존재하는 경우)

 

 

 

 

---

3. Matrix Notation

 

 

Augmented Matrix (첨가행렬)

• Linear equation들의 계수 $a_{ij}$와 상수 $b$를 가져와 행렬을 구성
• Gauss Elimination 사용: REF (Row Echelon Form)
  • Forward Phase 이용
• Gauss - Jordan Elimination 사용: RREF (Reduced Row Echelon Form)
  • Forward -> Backward Phase 이용

 

Coefficient Matrix (계수행렬)

• Linear equation들의 계수 $a_{ij}$만을 가져와 행렬을 구성
• Inverse Matrix 이용

 

 

 

 

 

---

4. Elementary Row Operations 

 

 

 

Elementary Row Operations: 기본행연산

 

 

• Replacement $R_{ij}(C)$: $R_{i} \times C + R_{j} \to C_{j}$
  • 한 행을 상수배 하여 다른 행에 더한다

 

• Scaling $R_{i}(C)$: $R_{i} \times C \to R_{i}$
  • 한 행을 상수배한다

 

• Interchange $R_{ij}$: $R_{i}$와 $R_{j}$를 swap
  • 두 행을 맞바꾼다

 

 

Row Equivalent

• 기본행연산을 통해 서로 변환이 가능한 두 개의 행렬에 대해 'Row Equivalent'라고 한다
• 만약 두 개의 Linear System의 Augmented Matrix(첨가행렬)이 Row Equivalent하다면, 두 System은 동일한 Solution Set을 가진다

 

 

• 예제) Example 1 

 

 

 

 

• 예제2) Example 2 - No solution

 

 

 

---

5. Summary