[선형대수학] Section 1.2(Linear Equations in Linear Algebra): Row Reduction and Echelon Forms

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선형대수학개론 강의 - 인프런

 

 

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1. Row (Reduced) Echelon Form

 

 

 

A nonzero row or column

 

• Row vector or Column Vector의 element (or entry) 중 Nonzero인 원소가 존재

 

 

 

 

Leading entry of row

 

• 해당 Row의 가장 왼쪽에 존재하는 0이 아닌 entry

 

 

 

REF (Row Echelon Form)

 

• 영행(Rows of all zeros)이 있다면 가장 밑으로 보내기
• 특정 행의 Leading entry가 윗 행의 Leading entry 보다 오른쪽에 위치해야 한다
  • 각 행들의 Leading Entry들이 우하향하는 계단 형태를 띄면 된다

 

 

• Forward Phase
  • 위에서 아래 방향으로 기본행연산을 적용한다 

 

• Gauss Elimination을 적용한 후의 계수, 첨가 행렬을 의미

 

 

 

RREF (Reduced Row Echelon Form)

 

• 영행(Rows of all zeros)이 있다면 가장 밑으로 보내기
• 특정 행의 Leading entry가 윗 행의 Leading entry 보다 오른쪽에 위치해야 한다
  • 각 행들의 Leading Entry들이 우하향하는 계단 형태를 띄면 된다
• 영행이 아닌 행들(Nonzero rows)의 Leading entry는 모두 1이여야 한다
• 각 Leading entry(=1)가 포함된 Column은 해당 Leading entry를 제외하면 전부 0을 원소로 가진다

 

 

• Forward Phase -> Backward Phase
  • 위에서 아래 방향으로 기본행연산을 적용하여 REF를 만든 후, 아래에서 위방향으로 기본행 연산을 적용하여 RREF를 만든다

 

• Gauss - Jordan Elimination을 적용한 후의 계수, 첨가 행렬을 의미

 

 

 

Pivot Position

• REF나 RREF에서 Leading entry의 위치를 Pivot Position이라 한다
• REF와 RREF에서 Leading entry의 위치는 서로 같으므로 둘은 Pivot Position이 동일하다

 

 

 

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2. Theorem1: Uniqueness of the Reduced Echelon Form

 

 

Uniqueness of the Reduced Echelon Form

 

• 각 Matrix은 RREF와 Row equivalent하다
• 즉 하나의 Matrix은 하나의 RREF에 유일하게 대응된다

 

 

 

 

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3. Row Reduction Algorithm

 

 

Gauss or Gauss - Jordan Algorithm

 

 

• Pivot Column을 하나씩 우측으로 옮기면서 pivot position을 새롭게 설정한다
  • $a_{11}$을 pivot position으로 설정
    • 1열의 값 중 가장 작은(Nonzero) 값으로 설정
    • 1로 맞추는게 나중에 계산할 때 편하다

 

 

• REF를 만든 후 일차 연립방정식 형태로 바꿔서 답을 내는 것이 실수할 확률이 적다
• RREF를 만들었다면 바로 답을 내도 된다

 

 

• $a_{11}$을 pivot position으로 설정하여 1st column중 가장 작은 값을 배정 (1로 맞추는 것이 대체로 편하다)

 

• Forward Phase: Pivot Column을 오른쪽으로 이동하면서 기본행연산을 이용하여 REF를 형성한다

 

• Backward Phase: Pivot Column을 왼쪽으로 이동하면서 기본행연산을 이용하여 RREF를 형성한다

 

 

Solutions of linear systems

 

• General Solution
  • Pivot Position에 해당하는 Leading variable을 잡고, 그 외에는 Free variable 처리
  • Augmented Matrix의 경우 마지막 열이 Constant이므로 Leading/Free variable로 처리하지 않도록 주의한다

 

 

• Basic Variables(Leading Variables): Pivot Position에 해당하는 변수들
  • Free Variable의 형태로 표현이 가능하다
• Free Variables(자유변수 = 임의의 매개변수): Pivot Position에 해당하지 않는 변수들

 

 

• 예제) Example 1
• 주의: Augmented Matrix의 경우 마지막 열은 Constant이므로 $x_{6}$가 Free variable이라고 해석하면 안된다

 

 

 

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4. Theorem2: Existence and Uniqueness Theorem

 

 

 

Existence and Uniqueness Theorem

 

• Linear System이 Consistent (해가 존재한다)  $\leftrightarrow$
• Augmented Matrix의 REF에서 다음과 같은 Row가 나오면 안된다: $[ 0 \cdots 0 \; b ]$ with b is nonzero

 

 

 

Solution Set - Advanced

 

Linear System이 Consistent

• Unique Solution: 자유변수가 없을 때
• Infinitely Many Solutions: 적어도 하나의 자유변수가 존재

 

 

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5. Summary